Hàm sinc chuẩn có thể biến đổi như sau:

sin ⁡ ( π x ) π x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 n 2 ) {\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)\,\!}

Và cũng có thể biến đổi theo hàm Gamma Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} bằng công thức Euler áp dụng cho hàm chẳn:

sin ⁡ ( π x ) π x = 1 Γ ( 1 + x ) Γ ( 1 − x ) . {\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.\,\!}

Cũng theo công thức Euler:

sin ⁡ ( x ) x = ∏ n = 1 ∞ cos ⁡ ( x 2 n ) . {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right).}

Chuỗi Taylor:

sin ⁡ ( x ) x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n+1)!}}}

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier của một hàm sinc (tần số thường) là một hàm rect(f):

∫ − ∞ ∞ sinc π ⁡ ( t ) e − 2 π i f t d t = rect 1 ⁡ ( f ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} _{\pi }(t)e^{-2\pi ift}\,\mathrm {d} t=\operatorname {rect} _{1}(f)}

Với hàm rect được định nghĩa như sau:

rect τ ⁡ ( t ) = { 1 | t | ≤ τ / 2 0 khac {\displaystyle \operatorname {rect} _{\tau }\left(t\right)={\begin{cases}1&|t|\leq \tau /2\\0&{\text{khac}}\end{cases}}} .

Biến đổi Fourier của hàm rect trên cũng thu được một hàm sinc:

F ( rect τ ) ( ω ) = 1 2 π ∫ − τ / 2 τ / 2 e − i ω t d t = 1 2 π τ sinc 1 ⁡ ( ω τ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(\operatorname {rect} _{\tau })(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\tau /2}^{\tau /2}e^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\tau \operatorname {sinc} _{1}\left({\frac {\omega \tau }{2}}\right)} .

Ứng dụng thực tế công thức này để tạo thành bộ lọc sinc như các bộ lọc thông thấp hay brick-wall. Trường hợp đặc biệt trong biến đổi Fourier này:

∫ − ∞ ∞ sin ⁡ ( π x ) π x d x = r e c t ( 0 ) = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\mathrm {rect} (0)=1\,\!}

là một tích phân suy rộng và không phải là một tích phân Lebesgue hội tụ, như:

∫ − ∞ ∞ | sin ⁡ ( π x ) π x | d x = + ∞ . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .}

Những tính chất của hàm sinc chuẩn được ứng dụng trong việc tái lập các mẫu của những hàm có giới hạn băng thông:

• Là một hàm nội suy, tức là sinc(0) = 1, và sinc(k) = 0 với k là số tự nhiên khác 0.
• Hàm xk(t) = sinc(t−k) (k là số tự nhiên) hình thành một hệ cơ sở trực chuẩn (orthonormal basic) của các hàm có băng thông giới hạn trong không gian hàm Lp: L2(R) với tần số góc cao nhất ωH=π (có nghĩa là tần số chu kỳ cao nhất ƒH=1/2).